Uppdaterad 14 sep 2003 15:42

En tidigare förbisedd gren av matematiken har blivit nytt ämne i gymnasieskolan. Den diskreta matematiken blir också allt viktigare inom forskningen. Den kan användas inom både botanik, nationalekonomi och för att utforma den optimala strategin för luffarschack.

Under några år i början av 1970-talet var det viktigt att kunna ringa in rätt antal bananer, äpplen och clowner. Mängdläran var ett verktyg som skulle frälsa skolmatematiken. Matten skulle bli mer sammanhängande och barnen skulle förstå bättre.

Men frälsningen blev kort. Efter bara några år kom larmrapporterna. Barnen var urusla på att räkna. Mängdläran övergavs och lärarna började lära ut mer traditionell matte igen.

Nu är mängdläran tillbaka. I alla fall i gymnasieskolan. När kurserna i matematik gjordes om för tre år sedan valde Skolverket att satsa på en ny kurs, diskret matematik. I den ingår mängdläran.

Elever på naturprogrammets datainriktning måste läsa kursen, men andra intresserade elever kan också välja den. Och för att lärarna ska förstå den nya matematiken satsas det nu på kompetensutveckling bland landets gymnasielärare i matematik.

På grund av datorernas utveckling har diskret matematik blivit ett område att räkna med, både i Sverige och i världen. Men datavetenskapen är bara en av många vetenskaper där den här typen av matematik har visat sig vara användbar.

Den diskreta matematiken tar hand om all matematik som rör punkter och tillstånd som kan hoppa från ett läge till ett annat. En människa, en elektron eller en gen kan vara diskreta storheter. Därför är den diskreta matematiken användbar till alltifrån ekonomi till genteknik.

Diskret matematik är motsatsen till den kontinuerliga matematiken. I den kontinuerliga matematiken kan man nästan alltid rita upp en sammanhängande kurva. Om den kontinuerliga matematiken är som en dimmer som reglerar ljusstyrkan på taklampan, är den diskreta matematiken strömbrytaren som tänder och släcker lampan. Det finns bara två lägen, antingen är den av eller på.

Datorns ettor och nollor är också diskreta storheter. Mängdläran är en del av den diskreta matematiken. En annan är läran om hur saker och ting kan kombineras, kombinatoriken.

- Kombinatoriken är kärnan i den diskreta matematiken, säger Svante Linusson, professor i tillämpad matematik vid Linköpings universitet.

Historien om den diskreta matematiken och kombinatoriken liknar en klassisk framgångssaga. Trots att stora matematiker som Leonhard Euler och Pierre de Fermat gärna sysslade med problem som rörde kombinatorik har mer traditionella matematiker sett ner på området.

När filmen "Good Will Hunting" visades på biograferna runt om i världen 1998 tyckte många matematiker att filmen var osannolik. Huvudpersonen Will Hunting, ett mattegeni från gatan, blir upptäckt av en professor vid MIT. Professorn, spelad av Stellan Skarsgård, hade tilldelats Fieldsmedaljen, det finaste pris en matematiker kan få.

Det osannolika för biobesökaren med lite koll på matematik var att han hade fått priset för forskning inom kombinatoriken. Men de hade fel. Senare samma år gick Fieldspriset till en kombinatoriker, engelsmannen Timothy Gowers.

En av anledningarna till motståndet är att kombinatorik tidigare förknippades med lättsinniga lekar och spel. De klassiska problemen har ofta att göra med vilka kombinationer som är möjliga med ett visst antal tärningar för att få en viss summa.

Men lekarna och spelen har visat sig ha mer med verkligheten att göra än vad någon matematiker hade kunnat ana innan datorerna dök upp.

Richard Stanley är en av dem som har bidragit till att göra den diskreta matematiken rumsren. Han har visat att det finns många viktiga samband mellan kombinatorik och de lite ädlare delarna av matematiken. Därför kommer han till Sverige i oktober för att ta mot Rolf Schockpriset i matematik.

- Jag blev väldigt överraskad över att jag fick priset. Det är bara kända matematiker som har fått det tidigare och jag räknar mig inte till dem, säger Richard Stanley, professor i tilllämpad matematik vid MIT.

En av de tidigare pristagarna är Andrew Wiles, mannen som bevisade Fermats stora sats och blev världsberömd på kuppen. Med andra ord är Richard Stanley i gott sällskap.

Det finns en hel del olösta problem inom kombinatoriken som är i klass med Fermats stora sats. Ett av dem har att göra med problem som kallas NP-fullständiga. Det är ofta kombinatoriska problem som matematikerna inte har någon enkel och effektiv metod för att lösa. I stället måste man räkna på alla möjliga kombinationer. De blir snabbt för många för att gå att lösa.

Ett av de mer berömda NP-problemen är problemet med den handelsresande som ska besöka ett visst antal städer.

När hon har gjort det ska hon återvända hem. I vilken ordning ska hon besöka städerna för att resan ska bli så kort och billig som möjligt?

Om hon bara ska besöka någ-ra få städer är det inte några problem för en dator att räkna ut den bästa vägen. Men när antalet städer ökar, kommer antalet resvägar att öka något våldsamt.

Frågan är om det finns någon effektiv metod för att lösa den här typen av problem. Det är en utmaning för någon duktig matematiker att bevisa det. Den person som gör det kommer att få en saftig belöning på en miljon dollar från det amerikanska Clay-institutet. Institutet har detta som ett av sina sju millennieproblem.

- Förr eller senare kommer den där matematikern som ser något som ingen sett tidigare. Då kommer den personen att lösa problemet, säger Kimmo Eriksson, professor i diskret matematik vid Mälardalens högskola.

Tillsammans med några samhällsvetare är Kimmo Eriksson i full färd med att starta ett laboratorium i experimentell samhällsvetenskap.

Han reser nu runt i världen och besöker olika laboratorier för att hämta inspiration. Förra veckan var han i Syd-Carolina och den här veckan besökte han London.

- Jag hoppas att vi är i gång innan jul. Sedan ska vi studera hur människor beter sig i strategiska situationer och jämföra med hur de matematiskt sett borde bete sig, berättar Kimmo Eriksson.

Spelteori skapades för att ta fram strategier i krig och sällskapsspel som schack och kortspel. Vissa spel kan man spela på ett optimalt sätt. Luffarschack är ett sådant spel. Ett annat är kortspelet whist. Svante Linussons kollega Johan Wästlund har räknat fram det optimala sättet att spela whist på, vilket gör honom oslagbar.

Det optimala sättet att spela schack på har ingen som tur är ännu hittat. När någon gör det kommer spelet att bli ointressant.

Men en sådan optimal strategi finns och skulle teoretiskt sett gå att hitta. Det visade den amerikanske Nobelpristagaren och matematikern John Nash redan när han var i tjugoårsåldern. Nash blev världskändis häromåret när hans liv blev Hollywoodfilmen "A beautiful mind".

Strategier för lek och spel kan också användas i verkliga livet. Det optimala sättet att leka tjugo frågor används för att hitta IP-adresser på internet. Och Kimmo Eriksson vill undersöka olika strategier för människor och företag som förhandlar i ett nätverk.

- Säg att vi har ett nätverk med tre företag A, B och C. Om både A och C vill handla med B har B en stark position och kan få hela överskottet. Vi vill titta på större nätverk och se vad som händer över tiden, säger Kimmo Eriksson.

Svante Linusson sysslar också gärna med matematik som går att använda inom andra vetenskaper. Tillsammans med biologer och andra matematiker försöker han ta reda på när i historien två arter skilde sig åt genom mutation.

Det hoppas de kunna göra genom att veta den genetiska skillnaden mellan arterna. Vid en mutation ändras ordningen på generna. På mattespråk sker en permutation. Med hjälp av kombinatorik är tanken att det ska gå att avgöra vilka mutationer som har skett och när det hände. Målet är att bygga hela det evolutionära trädet för så många arter som möjligt.

- Det är ett svårt problem. Så fort man har över tjugo arter finns det ofantligt många kombinationer, säger Svante Linusson.

Läkemedelsbolagen kan också utnyttja den nya matematiken. Svante Linusson och beräkningsbiologen Jesper Tegnér vill hjälpa dem att se vad som händer om de testar en viss substans på vissa gener. Några gener reagerar på substansen, andra inte. Och en del reagerar indirekt på substansen genom att andra gener redan har reagerat på den.

Att designa experiment på ett så effektivt sätt som möjligt sparar tid, pengar, miljö och djurförsök. Inom kemiforskningen har det blivit allt vanligare att använda kombinatorik för att göra effektiva försök. Nu börjar forskare inom andra områden också få upp ögonen för diskret matematik.

Jennie Häglund Hermansson, vetenskap@dn.se